<a href="https://nichidaibunrigojokai.swiki.jp/index.php?cmd=related&amp;page=%E6%95%B0%E5%AD%A6%28%E7%AB%8B%E4%BA%95%E5%8D%9A%E5%AD%90%29">数学(立井博子)</a> のバックアップ(No.6)

除法の定理
除法とは割り算のこと。
まず、割り算では余りが出ると考える。

余りは必ず「割る数」より小さくなる。（0≦余り＜割る数）
もし余りが 0 なら、割り切れたということ。

文字式の割り算でも、同じことが言える。
ある式Aをある式Bで割った場合、以下のようになる。

ある式A = ある式B × 商 + 余り

余りの次数(xの次数)は、割る式Bの次数より小さくなる。
例えば、割る式Bが2次式（x²+ ...）であれば、余りはそれより次数が低い1次式以下（ax + b）である。

除法の定理は、剰余の定理などの理解に繋がるほか、
「すべての整数は 3n, 3n+1, 3n+2 のいずれかで表せる」といった証明問題などで必要とされる。

約数、公約数

約数
12を割り切れる整数を探す。

12÷1= 12
12÷2= 6
12÷3= 4
12÷4= 3
12÷6= 2
12÷12= 1

よって、12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12である。
しかし、この方法では、大きな数を対象とした時、極めて大変である。
なので、素因数分解を行う。

12の素因数は 2, 2, 3 である。
ある数の約数は、「(ある数を素因数分解して得られた)素因数を組み合わせて作れる数」と 1 であると言える。

公約数
2つ以上の数に共通する約数のこと。
12 と 18 の公約数を探す。

12	1, 2, 3, 4, 6, 12
18	1, 2, 3, 6, 9, 18

共通している数を取り出すと、1, 2, 3, 6 である。
これが 12 と 18 の公約数。

公約数のなかで一番大きい数のことを最大公約数と言う。
12 と 18 の最大公約数は 6 である。
また、全ての公約数は、最大公約数の約数になっている。
12 と 18 の最大公約数である 6 の約数は、12 と 18 の公約数 1, 2, 3, 6 に一致する。

初等整数論
2 以上の全ての整数は、素数の掛け算としてただ 1 通りの組み合わせ（順番の違いを除く）で表せる。

「1」は素数に含まれない。
もし 1 を素数と認めてしまうと、

6= 2 × 3
6= 1 × 2 × 3
6= 1 × 1 × 2 × 3

このように、表現が無数に増えてしまい、ただ1通りに決まるという美しい性質が崩れる。

約数は、ある数に含まれる素数を何個使うかの組み合わせで決まる。
例えば、12の素数は 2, 2, 3 だけである。
2 について考えると、2⁰, 2¹, 2² があり、3 について考えると、3⁰, 3¹ である。(3通り と 2通り)

約数の個数は、組み合わせの掛け算で求められる。

2通り × 3通り = 6

Euclidの互除法
ある数A と ある数B の最大公約数は、「B と AをBで割った余り の最大公約数」とまったく同じになる。
つまり、どんなに大きい2つの数でも、割り算を繰り返すだけで確実に最大公約数が見つけられる。

323 と 221 の最大公約数を求める場合を考える。

323 ÷ 221 = 1 あまり 102
221 ÷ 102 = 2 あまり 17
102 ÷ 17 = 6 あまり 0

余りが 0 になった時の 17 が最大公約数だと分かる。

因みにEuclidの読みはユークリッドである。

不定方程式
「x + y = 5」のように、解が1つに定まらない方程式のこと。

1次不定方程式：ax + by + c（a, b, c は整数）
7x + 5y = 1 を満たす整数 (x, y) の組を1つ見つける。
ユークリッドの互除法を使うと

7÷5＝ 1 あまり 2 ⇨7ー5×1 ＝ 2
5÷2＝ 2 あまり 1 ⇨5ー2×2＝ 1

5ー2×2＝ 1 の ー2 の部分に、上の式の 7ー5×1 ＝ 2 を代入する。

1 ＝5ー(7ー5×1)×2　　※()内の計算が最優先
1 ＝5ー7×2＋5×2
1 ＝7(ー2)＋5×3
7(ー2) ＋ 5×3 ＝ 1

x = -2, y = 3が解の1つ(特殊解)だと分かる。

1次不定方程式が整数の解を持つ為には、
a と b の最大公約数が、cの約数(倍数関係)になっていることが必要。

例えば、6x + 9y = 5 という式を考える。
左辺（6x+9y）は 3(2x+3y) と変形できるため、x, y がどんな整数であっても絶対に3の倍数になる。
しかし、右辺は 3の倍数ではないので、この方程式を満たす整数解は「存在しない」と判断できる。

連分数
分数の分子や分母の中に、さらに分数が入っているものを連分数と呼ぶ。

√2などの無理数を連分数にすると、周期パターンが現れる。
また、無限に続く無理数の連分数を途中で打ち切ると、近似分数が得られる。

連分数と2次無理数
2次無理数とは、整数係数の2次方程式 ax²+bx+c=0 の解となる無理数のこと。
(p+√D)÷qが解として現れる。（Dは平方数ではない正の整数）

「実数が2次無理数であること」と「その連分数展開が周期性を持つこと」は完全に一致する。(ラグランジュの定理)

ラグランジュの定理
実数 α の連分数展開が周期連分数になるのは、 α が 2次無理数であるときに限る。
2次無理数 ＝ 循環連分数

ラグランジュは数学者の名前

2次無理数を連分数で表すと、
「①初めから循環するもの」「②最後は最初の整数の2倍で終わるもの」「③途中から循環するもの」の三つが現れる。
①は黄金比などを連分数で表すと現れる。
②は純平方根(√2や√3など)の場合に現れる。
③は一般的な2次無理数の場合に現れる。

p進法
p進法とは、p個集まったら新しい桁に繰り上がるという数え方のこと。
日本では、10進法が使われている。

2進法の「1101‹₂›」を10進法に直す。

桁	数
四番目の桁(8の位)	1×2³＝8
三番目の桁(4の位)	1×2²＝4
二番目の桁(2の位)	0×2¹＝0
一番目の桁(1の位)	1×2⁰＝1

8+4+0+1＝13

10進法の「19」を3進法に直す。

19÷3＝ 6 あまり 1（3⁰の桁）
6÷3＝ 2 あまり 0（3¹の桁）
2÷3＝ 0 あまり 2（3²の桁）

余りを並べると 201‹₃› になる。

大学数学では、pで何回割り切れるか、pの累乗でどれだけ割り切れる数を近いとみなすか、というのを扱う。

割り算の余りと合同式
整数a と b を m で割ったときの余りが等しい時、次のように表す。

a ≡ b (mod m)

これが合同式である。modとはモジュロ(割り算の余り)のこと。

具体例を挙げる。
17 と 7 について、5でそれぞれ割った時の余りは、共に 2 である。

17 ≡ 7 (mod 5)

余りそのものを使って 17 ≡ 2 (mod 5) とも書ける。

a ≡ b (mod m) ⇔ (a-b)はmの倍数

17 と 7 について考える場合、17-7=10 (10は5の倍数)

合同式では、a ≡ b (mod m)、c ≡ d (mod m)の時、次の四則演算の性質が成り立つ。

これらを活用することで、3の100乗を 7 で割った余りを楽に求められる。
また、除法の定理（A = B × 商 + 余り）とも関連する。