<a href="https://nichidaibunrigojokai.swiki.jp/index.php?cmd=related&amp;page=%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6%28%E6%B4%A5%E7%95%99%E7%AB%9C%E9%A6%AC%29">論理学(津留竜馬)</a> のバックアップ(No.9)

論理式

述語論理で使う記号はこれだけ覚えれば大丈夫。

論理式のうち、∀か∃が含まれるものを量化式と言う。

文章の論理式化

• 議論領域
  「全て」や「ある」といった言葉が使われる時に、そこで話題になっているものの範囲
  例：ある会議全体，ある学級の人数

法則

これらの法則を用いて論理式を変形することで、ある論理式同士が同値であることを示せる。（同値変形）

真偽

変数が含まれる論理式を真(Ｔ)と偽(Ｆ)に場合分けする。

論理式の真偽を決めるには真理表を用いる。

• P→Qの場合

  P	Q	P→Q
  Ｔ	Ｔ	Ｔ
  Ｔ	Ｆ	Ｆ
  Ｆ	Ｔ	Ｔ
  Ｆ	Ｆ	Ｔ

• ¬P→¬Qの場合

  P	Q	¬P	¬Q	¬P→¬Q
  Ｔ	Ｔ	Ｆ	Ｆ	Ｔ
  Ｔ	Ｆ	Ｆ	Ｔ	Ｔ
  Ｆ	Ｔ	Ｔ	Ｆ	Ｆ
  Ｆ	Ｆ	Ｔ	Ｔ	Ｔ

• P∩Qの場合

  P	Q	P∩Q
  Ｔ	Ｔ	Ｔ
  Ｔ	Ｆ	Ｆ
  Ｆ	Ｔ	Ｆ
  Ｆ	Ｆ	Ｆ

• P∪Qの場合

  P	Q	P∪Q
  Ｔ	Ｔ	Ｔ
  Ｔ	Ｆ	Ｔ
  Ｆ	Ｔ	Ｔ
  Ｆ	Ｆ	Ｆ

基本的に全て事実式
妥当式はP→(Q→P)ぐらいしかない。矛盾式に至っては出てこない。

述語論理

一項述語はF,G,H、二項述語はR、名詞はa,b,c

「∀¬と¬∃」,「¬∀と∃¬」はそれぞれ同じ意味。日本語に近い方を選ぶ。

述語論理式の真偽は「議論領域」「a,b,c等の解釈」「F,G,H,R等の解釈」で決まる。
この三つを決めるものをモデルと言う。

数

Uはモデル
a∈bは「aはbに含まれる」
∅（空集合）が出てくることも

例
U={1,2,3,4,5}
I(a)=4、I(b)=1、I(c)=3
I(F)={1,4}、I(G)={2,3,5}、I(R)={(3,1),(1,5),(3,4),(5,2)}

• Fb
  I(b)∈I(F)
  1∈{1,4}
  ⇨真
• Ga
  I(G)に4は含まれない。
  ⇨偽
• Rca
  (I(c),I(a))
  (3,4)∈I(R)
  ⇨真
• ∀xGx
  全てのxについて調べる。
  全て含まれていないなら偽
  ⇨偽
• ∃xGx
  一つでも含まれていれば真
  ⇨真

ある論理式が真の時のaの値を　求められることがある。