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数学(立井博子) の変更点 
''■[[数学]]''
#contents
|BGCOLOR(#555):COLOR(White):200|520|c
|BGCOLOR(#fc2):COLOR(Black):''分類''|''選択''|
|区分|総合教育科目|
|履修形態|一般(人数過多の場合は抽選)|
|履修条件|なし|
|単位数|2|
|講師|[[立井博子]]|
|学位等|学士|
*概要 [#Gaiyou]
数の持つ簡単な性質について触れ、日常に現れる数学への理解を深める。
数学的な思考力・探求心を養うため、中間および期末レポートを課し、そのフィードバックを行う。
#br
教科書なし。
|>|成績割合|h
|~課題・レポート|30%|
|~テスト|70%|
課題は第1回と第15回を除く13回で出される。各10点。
テストの100点+課題の130点の合計230点が満点となる。
レポートの点数は不明

>''対面での参加が困難な場合の取り扱い''
事前に教員へ事由・該当期間を連絡すること。授業資料はPDFで配る。
授業にZoomなどで参加し、期限内にリアクションペーパーを提出する。
ただし事前連絡なしでの遠隔参加は原則遅延扱い。
修了レポートはオンライン提出可

この科目は文理学部のディプロマポリシー DP3,4,5 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5 に対応している。
*講師の印象 [#Inshou]
*令和８年度(2026年度) [#h81d5434]
#style(class=submenuheader){{
**後期 [#y4129dc5]
}}
#style(class=submenu){{
|BGCOLOR(#555):COLOR(White):200|520|c
|BGCOLOR(#fc2):COLOR(Black):授業形態|対面授業|
|日程/教室| 曜日 限目/ 教室( 号館 階 番教室)|
***第１講目の内容 [#j048f7d1]
授業の説明
***第２講目の内容 [#o08614e7]
#region(除法の定理)
''除法の定理''
除法とは割り算のこと。
まず、割り算では余りが出ると考える。
#br
余りは必ず「割る数」より小さくなる。（0≦余り＜割る数）
もし余りが 0 なら、割り切れたということ。
#br
文字式の割り算でも、同じことが言える。
ある式Aをある式Bで割った場合、以下のようになる。
 ある式A = ある式B × 商 + 余り
余りの次数(xの次数)は、割る式Bの次数より小さくなる。
例えば、割る式Bが2次式（x²+ ...）であれば、余りはそれより次数が低い1次式以下（ax + b）である。
#br
除法の定理は、剰余の定理などの理解に繋がるほか、
「すべての整数は 3n, 3n+1, 3n+2 のいずれかで表せる」といった証明問題などで必要とされる。
#endregion
***第３講目の内容 [#o74ced81]
#region(約数、公約数)
''約数、公約数''
|~約数|ある数を割り切れる数|
|~公約数|2つ以上の数に共通する約数|

>''約数''
12を割り切れる整数を探す。
#br
12÷1= 12
12÷2= 6
12÷3= 4
12÷4= 3
12÷6= 2
12÷12= 1
#br
よって、12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12である。
しかし、この方法では、大きな数を対象とした時、極めて大変である。
なので、素因数分解を行う。
#br
12の素因数は 2, 2, 3 である。
ある数の約数は、「(ある数を素因数分解して得られた)素因数を組み合わせて作れる数」と 1 であると言える。

>''公約数''
2つ以上の数に共通する約数のこと。
12 と 18 の公約数を探す。
|~12|1, 2, 3, 4, 6, 12|
|~18|1, 2, 3, 6, 9, 18|
共通している数を取り出すと、1, 2, 3, 6 である。
これが 12 と 18 の公約数。
#br
公約数のなかで一番大きい数のことを最大公約数と言う。
12 と 18 の最大公約数は 6 である。
また、全ての公約数は、最大公約数の約数になっている。
12 と 18 の最大公約数である 6 の約数は、12 と 18 の公約数 1, 2, 3, 6 に一致する。
#endregion
***第４講目の内容 [#ra685a35]
#region(初等整数論)
''初等整数論''
2 以上の全ての整数は、素数の掛け算としてただ 1 通りの組み合わせ（順番の違いを除く）で表せる。
|~存在性|2 以上の全ての整数は、必ずいくつかの素数の積に分解できる。|
|~一意性|素数を掛ける順序を無視すれば、分解に出てくる素数の組み合わせは絶対に1通りしか存在しない。|
「1」は素数に含まれない。
もし 1 を素数と認めてしまうと、
 6= 2 × 3
 6= 1 × 2 × 3
 6= 1 × 1 × 2 × 3
このように、表現が無数に増えてしまい、ただ1通りに決まるという美しい性質が崩れる。
#br
約数は、ある数に含まれる素数を何個使うかの組み合わせで決まる。
例えば、12の素数は 2, 2, 3 だけである。
2 について考えると、2⁰, 2¹, 2² があり、3 について考えると、3⁰, 3¹ である。(3通り と 2通り)
#br
約数の個数は、組み合わせの掛け算で求められる。
 2通り × 3通り = 6
#endregion
***第５講目の内容 [#k6c34c29]
#region(Euclidの互除法)
''Euclidの互除法''
ある数A と ある数B の最大公約数は、「B と AをBで割った余り の最大公約数」とまったく同じになる。
つまり、どんなに大きい2つの数でも、割り算を繰り返すだけで確実に最大公約数が見つけられる。
#br
323 と 221 の最大公約数を求める場合を考える。
 323 ÷ 221 = 1 あまり 102
 221 ÷ 102 = 2 あまり 17
 102 ÷ 17 = 6 あまり 0
余りが 0 になった時の 17 が最大公約数だと分かる。
#br
因みにEuclidの読みはユークリッドである。
#endregion
***第６講目の内容 [#c6abd7a6]
#region(不定方程式)
''不定方程式''
「x + y = 5」のように、解が1つに定まらない方程式のこと。

>''1次不定方程式：ax + by + c（a, b, c は整数）''
7x + 5y = 1 を満たす整数 (x, y) の組を1つ見つける。
ユークリッドの互除法を使うと
 7÷5＝ 1 あまり 2 ⇨7ー5×1 ＝ 2
 5÷2＝ 2 あまり 1 ⇨5ー2×2＝ 1
 
 5ー2×2＝ 1 の ー2 の部分に、上の式の 7ー5×1 ＝ 2 を代入する。
 
 1 ＝5ー(7ー5×1)×2　　※()内の計算が最優先
 1 ＝5ー7×2＋5×2
 1 ＝7(ー2)＋5×3
 7(ー2) ＋ 5×3 ＝ 1
x = -2, y = 3が解の1つ(特殊解)だと分かる。
#br
1次不定方程式が整数の解を持つ為には、
a と b の最大公約数が、cの約数(倍数関係)になっていることが必要。
#br
例えば、6x + 9y = 5 という式を考える。
左辺（6x+9y）は 3(2x+3y) と変形できるため、x, y がどんな整数であっても絶対に3の倍数になる。
しかし、右辺は 3の倍数ではないので、この方程式を満たす整数解は「存在しない」と判断できる。
#endregion
***第７講目の内容 [#f70b4c71]
#region(連分数)
''連分数''
分数の分子や分母の中に、さらに分数が入っているものを連分数と呼ぶ。
#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=aDvh-ZLrXXc)
√2などの無理数を連分数にすると、周期パターンが現れる。
また、無限に続く無理数の連分数を途中で打ち切ると、近似分数が得られる。
#endregion
***第８講目の内容 [#o5a27e8b]
#region(連分数と2次無理数)
''連分数と2次無理数''
2次無理数とは、整数係数の2次方程式 ax²+bx+c=0 の解となる無理数のこと。
(p+√D)÷qが解として現れる。（Dは平方数ではない正の整数）
#br
「実数が2次無理数であること」と「その連分数展開が周期性を持つこと」は完全に一致する。(ラグランジュの定理)
>''ラグランジュの定理''
実数 α の連分数展開が周期連分数になるのは、 α が 2次無理数であるときに限る。
2次無理数 ＝ 循環連分数
#br
ラグランジュは数学者の名前

2次無理数を連分数で表すと、
「①初めから循環するもの」「②最後は最初の整数の2倍で終わるもの」「③途中から循環するもの」の三つが現れる。
①は黄金比などを連分数で表すと現れる。
②は純平方根(√2や√3など)の場合に現れる。
③は一般的な2次無理数の場合に現れる。

//参考動画///難しい　初学者には向かない
///#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=VtH1XUKxRcE)
#endregion
***第９講目の内容 [#l94085cd]
#region(p進法)
''p進法''
p進法とは、p個集まったら新しい桁に繰り上がるという数え方のこと。
日本では、10進法が使われている。
>''2進法の「1101‹₂›」を10進法に直す。''
|桁|数|h
|四番目の桁(8の位)|1×2³＝8|
|三番目の桁(4の位)|1×2²＝4|
|二番目の桁(2の位)|0×2¹＝0|
|一番目の桁(1の位)|1×2⁰＝1|
8+4+0+1＝13

>''10進法の「19」を3進法に直す。''
 19÷3＝ 6 あまり 1（3⁰の桁）
 6÷3＝ 2 あまり 0（3¹の桁）
 2÷3＝ 0 あまり 2（3²の桁）
余りを並べると 201‹₃› になる。

大学数学では、pで何回割り切れるか、pの累乗でどれだけ割り切れる数を近いとみなすか、というのを扱う。
#endregion
***第１０講目の内容 [#gda7c17d]
#region(割り算の余りと合同式)
''割り算の余りと合同式''
整数a と b を m で割ったときの余りが等しい時、次のように表す。
 a ≡ b (mod m)
これが合同式である。modとはモジュロ(割り算の余り)のこと。
#br
具体例を挙げる。
17 と 7 について、5でそれぞれ割った時の余りは、共に 2 である。
 17 ≡ 7 (mod 5)
余りそのものを使って 17 ≡ 2 (mod 5) とも書ける。
#br
 a ≡ b (mod m) ⇔ (a-b)はmの倍数
17 と 7 について考える場合、17-7=10 (10は5の倍数)
#br
合同式では、a ≡ b (mod m)、c ≡ d (mod m)の時、次の四則演算の性質が成り立つ。
|演算|合同式|h
|足し算|a＋c ≡ b＋d (mod m)|
|引き算|aーc ≡ bーd (mod m)|
|掛け算|a×c ≡ b×d (mod m)|
|累乗|aのn乗 ≡ bのn乗 (mod m)|
「3の100乗を 7 で割った余りはいくつか」といった問題などに活かせる。
また、これらは除法の定理（A = B × 商 + 余り）とも関連する。
#endregion
***第１１講目の内容 [#u519c3b5]
#region(群)
''群''
特定の性質を満たす計算ができる集合を群と言う。
ある集合と、その上の演算の組み合わせが群であるには、以下の条件をすべて満たす必要がある。
|~閉性|集合の中のどの2つを選んで計算しても、結果は必ず同じ集合の中に入っている。|
|~結合法則が成り立つこと|計算する順番を変えても結果が同じになる。|
|~単位元が存在すること|計算しても相手を変化させない特別な要素 e が存在する。|
|~逆元が存在すること|計算すると単位元 e に戻すことができる要素 a^-1 が必ず存在する。|
例えば、整数全体 {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} は、足し算に関して、群になる。
#br
#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=dO1T5-N3k1U)
#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=xxY2r2N4zDs)
#endregion
***第１２講目の内容 [#ad3042b7]
#region(置換)
''置換''
#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=ZGcfCKTY9OQ)
#endregion
***第１３講目の内容 [#x56cbe7c]
#region(準同型写像)
''準同型写像''
#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=FzTr-468G0w)
#endregion
***第１４講目の内容 [#oe0c9d1a]
#region(群の同型)
''群の同型''
#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=w0dpUASjXek)
#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=PxctoJHzfcg)
#endregion
***第１５講目の内容 [#p46d20a1]
期末試験
}}
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#pcomment(,reply,20,)
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