<a href="https://nichidaibunrigojokai.swiki.jp/index.php?cmd=related&page=%E6%95%B0%E5%AD%A6%28%E7%AB%8B%E4%BA%95%E5%8D%9A%E5%AD%90%29">数学(立井博子)</a> の編集
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> 数学(立井博子)
数学(立井博子)
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*講師の印象 [#Inshou]
''■[[数学]]'' #contents |BGCOLOR(#555):COLOR(White):200|520|c |BGCOLOR(#fc2):COLOR(Black):''分類''|''選択''| |区分|総合教育科目| |履修形態|一般(人数過多の場合は抽選)| |履修条件|なし| |単位数|2| |講師|[[立井博子]]| |学位等|学士| *概要 [#Gaiyou] 数の持つ簡単な性質について触れ、日常に現れる数学への理解を深める。 数学的な思考力・探求心を養うため、中間および期末レポートを課し、そのフィードバックを行う。 #br 教科書なし。 |>|成績割合|h |~課題・レポート|30%| |~テスト|70%| 課題は第1回と第15回を除く13回で出される。各10点。 テストの100点+課題の130点の合計230点が満点となる。 レポートの点数は不明 >''対面での参加が困難な場合の取り扱い'' 事前に教員へ事由・該当期間を連絡すること。授業資料はPDFで配る。 授業にZoomなどで参加し、期限内にリアクションペーパーを提出する。 ただし事前連絡なしでの遠隔参加は原則遅延扱い。 修了レポートはオンライン提出可 この科目は文理学部のディプロマポリシー DP3,4,5 及びカリキュラムポリシー CP3,4,5 に対応している。 *講師の印象 [#Inshou] *令和８年度(2026年度) [#h81d5434] #style(class=submenuheader){{ **後期 [#y4129dc5] }} #style(class=submenu){{ |BGCOLOR(#555):COLOR(White):200|520|c |BGCOLOR(#fc2):COLOR(Black):授業形態|対面授業| |日程/教室| 曜日 限目/ 教室( 号館 階 番教室)| ***第１講目の内容 [#j048f7d1] 授業の説明 ***第２講目の内容 [#o08614e7] #region(除法の定理) ''除法の定理'' 除法とは割り算のこと。 まず、割り算では余りが出ると考える。 #br 余りは必ず「割る数」より小さくなる。（0≦余り＜割る数） もし余りが 0 なら、割り切れたということ。 #br 文字式の割り算でも、同じことが言える。 ある式Aをある式Bで割った場合、以下のようになる。 ある式A = ある式B × 商 + 余り 余りの次数(xの次数)は、割る式Bの次数より小さくなる。 例えば、割る式Bが2次式（x²+ ...）であれば、余りはそれより次数が低い1次式以下（ax + b）である。 #br 除法の定理は、剰余の定理などの理解に繋がるほか、 「すべての整数は 3n, 3n+1, 3n+2 のいずれかで表せる」といった証明問題などで必要とされる。 #endregion ***第３講目の内容 [#o74ced81] #region(約数、公約数) ''約数、公約数'' |~約数|ある数を割り切れる数| |~公約数|2つ以上の数に共通する約数| >''約数'' 12を割り切れる整数を探す。 #br 12÷1= 12 12÷2= 6 12÷3= 4 12÷4= 3 12÷6= 2 12÷12= 1 #br よって、12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12である。 しかし、この方法では、大きな数を対象とした時、極めて大変である。 なので、素因数分解を行う。 #br 12の素因数は 2, 2, 3 である。 ある数の約数は、「(ある数を素因数分解して得られた)素因数を組み合わせて作れる数」と 1 であると言える。 >''公約数'' 2つ以上の数に共通する約数のこと。 12 と 18 の公約数を探す。 |~12|1, 2, 3, 4, 6, 12| |~18|1, 2, 3, 6, 9, 18| 共通している数を取り出すと、1, 2, 3, 6 である。 これが 12 と 18 の公約数。 #br 公約数のなかで一番大きい数のことを最大公約数と言う。 12 と 18 の最大公約数は 6 である。 また、全ての公約数は、最大公約数の約数になっている。 12 と 18 の最大公約数である 6 の約数は、12 と 18 の公約数 1, 2, 3, 6 に一致する。 #endregion ***第４講目の内容 [#ra685a35] #region(初等整数論) ''初等整数論'' 2 以上の全ての整数は、素数の掛け算としてただ 1 通りの組み合わせ（順番の違いを除く）で表せる。 |~存在性|2 以上の全ての整数は、必ずいくつかの素数の積に分解できる。| |~一意性|素数を掛ける順序を無視すれば、分解に出てくる素数の組み合わせは絶対に1通りしか存在しない。| 「1」は素数に含まれない。 もし 1 を素数と認めてしまうと、 6= 2 × 3 6= 1 × 2 × 3 6= 1 × 1 × 2 × 3 このように、表現が無数に増えてしまい、ただ1通りに決まるという美しい性質が崩れる。 #br 約数は、ある数に含まれる素数を何個使うかの組み合わせで決まる。 例えば、12の素数は 2, 2, 3 だけである。 2 について考えると、2⁰, 2¹, 2² があり、3 について考えると、3⁰, 3¹ である。(3通り と 2通り) #br 約数の個数は、組み合わせの掛け算で求められる。 2通り × 3通り = 6 #endregion ***第５講目の内容 [#k6c34c29] #region(Euclidの互除法) ''Euclidの互除法'' ある数A と ある数B の最大公約数は、「B と AをBで割った余り の最大公約数」とまったく同じになる。 つまり、どんなに大きい2つの数でも、割り算を繰り返すだけで確実に最大公約数が見つけられる。 #br 323 と 221 の最大公約数を求める場合を考える。 323 ÷ 221 = 1 あまり 102 221 ÷ 102 = 2 あまり 17 102 ÷ 17 = 6 あまり 0 余りが 0 になった時の 17 が最大公約数だと分かる。 #br 因みにEuclidの読みはユークリッドである。 #endregion ***第６講目の内容 [#c6abd7a6] #region(不定方程式) ''不定方程式'' 「x + y = 5」のように、解が1つに定まらない方程式のこと。 >''1次不定方程式：ax + by + c（a, b, c は整数）'' 7x + 5y = 1 を満たす整数 (x, y) の組を1つ見つける。 ユークリッドの互除法を使うと 7÷5＝ 1 あまり 2 ⇨7ー5×1 ＝ 2 5÷2＝ 2 あまり 1 ⇨5ー2×2＝ 1 5ー2×2＝ 1 の ー2 の部分に、上の式の 7ー5×1 ＝ 2 を代入する。 1 ＝5ー(7ー5×1)×2 ※()内の計算が最優先 1 ＝5ー7×2＋5×2 1 ＝7(ー2)＋5×3 7(ー2) ＋ 5×3 ＝ 1 x = -2, y = 3が解の1つ(特殊解)だと分かる。 #br 1次不定方程式が整数の解を持つ為には、 a と b の最大公約数が、cの約数(倍数関係)になっていることが必要。 #br 例えば、6x + 9y = 5 という式を考える。 左辺（6x+9y）は 3(2x+3y) と変形できるため、x, y がどんな整数であっても絶対に3の倍数になる。 しかし、右辺は 3の倍数ではないので、この方程式を満たす整数解は「存在しない」と判断できる。 #endregion ***第７講目の内容 [#f70b4c71] #region(連分数) ''連分数'' 分数の分子や分母の中に、さらに分数が入っているものを連分数と呼ぶ。 #youtube(https://www.youtube.com/watch?v=aDvh-ZLrXXc) √2などの無理数を連分数にすると、周期パターンが現れる。 また、無限に続く無理数の連分数を途中で打ち切ると、近似分数が得られる。 #endregion ***第８講目の内容 [#o5a27e8b] #region(連分数と2次無理数) ''連分数と2次無理数'' 2次無理数とは、整数係数の2次方程式 ax²+bx+c=0 の解となる無理数のこと。 (p+√D)÷qが解として現れる。（Dは平方数ではない正の整数） #br 「実数が2次無理数であること」と「その連分数展開が周期性を持つこと」は完全に一致する。(ラグランジュの定理) >''ラグランジュの定理'' 実数 α の連分数展開が周期連分数になるのは、 α が 2次無理数であるときに限る。 2次無理数 ＝ 循環連分数 #br ラグランジュは数学者の名前 2次無理数を連分数で表すと、 「①初めから循環するもの」「②最後は最初の整数の2倍で終わるもの」「③途中から循環するもの」の三つが現れる。 ①は黄金比などを連分数で表すと現れる。 ②は純平方根(√2や√3など)の場合に現れる。 ③は一般的な2次無理数の場合に現れる。 //参考動画///難しい 初学者には向かない ///#youtube(https://www.youtube.com/watch?v=VtH1XUKxRcE) #endregion ***第９講目の内容 [#l94085cd] #region(p進法) ''p進法'' p進法とは、p個集まったら新しい桁に繰り上がるという数え方のこと。 日本では、10進法が使われている。 >''2進法の「1101‹₂›」を10進法に直す。'' |桁|数|h |四番目の桁(8の位)|1×2³＝8| |三番目の桁(4の位)|1×2²＝4| |二番目の桁(2の位)|0×2¹＝0| |一番目の桁(1の位)|1×2⁰＝1| 8+4+0+1＝13 >''10進法の「19」を3進法に直す。'' 19÷3＝ 6 あまり 1（3⁰の桁） 6÷3＝ 2 あまり 0（3¹の桁） 2÷3＝ 0 あまり 2（3²の桁） 余りを並べると 201‹₃› になる。 大学数学では、pで何回割り切れるか、pの累乗でどれだけ割り切れる数を近いとみなすか、というのを扱う。 #endregion ***第１０講目の内容 [#gda7c17d] #region(割り算の余りと合同式) ''割り算の余りと合同式'' 整数a と b を m で割ったときの余りが等しい時、次のように表す。 a ≡ b (mod m) これが合同式である。modとはモジュロ(割り算の余り)のこと。 #br 具体例を挙げる。 17 と 7 について、5でそれぞれ割った時の余りは、共に 2 である。 17 ≡ 7 (mod 5) 余りそのものを使って 17 ≡ 2 (mod 5) とも書ける。 #br a ≡ b (mod m) ⇔ (a-b)はmの倍数 17 と 7 について考える場合、17-7=10 (10は5の倍数) #br 合同式では、a ≡ b (mod m)、c ≡ d (mod m)の時、次の四則演算の性質が成り立つ。 |演算|合同式|h |足し算|a＋c ≡ b＋d (mod m)| |引き算|aーc ≡ bーd (mod m)| |掛け算|a×c ≡ b×d (mod m)| |累乗|aのn乗 ≡ bのn乗 (mod m)| 「3の100乗を 7 で割った余りはいくつか」といった問題などに活かせる。 また、これらは除法の定理（A = B × 商 + 余り）とも関連する。 #endregion ***第１１講目の内容 [#u519c3b5] #region(群) ''群'' 特定の性質を満たす計算ができる集合を群と言う。 ある集合と、その上の演算の組み合わせが群であるには、以下の条件をすべて満たす必要がある。 |~閉性|集合の中のどの2つを選んで計算しても、結果は必ず同じ集合の中に入っている。| |~結合法則が成り立つこと|計算する順番を変えても結果が同じになる。| |~単位元が存在すること|計算しても相手を変化させない特別な要素 e が存在する。| |~逆元が存在すること|計算すると単位元 e に戻すことができる要素 a^-1 が必ず存在する。| 例えば、整数全体 {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} は、足し算に関して、群になる。 #br #youtube(https://www.youtube.com/watch?v=dO1T5-N3k1U) #youtube(https://www.youtube.com/watch?v=xxY2r2N4zDs) #endregion ***第１２講目の内容 [#ad3042b7] #region(置換) ''置換'' #youtube(https://www.youtube.com/watch?v=ZGcfCKTY9OQ) #endregion ***第１３講目の内容 [#x56cbe7c] #region(準同型写像) ''準同型写像'' #youtube(https://www.youtube.com/watch?v=FzTr-468G0w) #endregion ***第１４講目の内容 [#oe0c9d1a] #region(群の同型) ''群の同型'' #youtube(https://www.youtube.com/watch?v=w0dpUASjXek) #youtube(https://www.youtube.com/watch?v=PxctoJHzfcg) #endregion ***第１５講目の内容 [#p46d20a1] 期末試験 }} *コメント [#comment] #pcomment(,reply,20,)
