<a href="https://nichidaibunrigojokai.swiki.jp/index.php?cmd=related&page=%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6%28%E6%B4%A5%E7%95%99%E7%AB%9C%E9%A6%AC%29">論理学(津留竜馬)</a> の編集
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論理学(津留竜馬)
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***文章の論理式化 [#h81d5555] |例文|考え方|論理式|h |日本人は和を重んじる。|日本人(P)ならば、和を重んじる(Q)。|P→Q| |日本人は降伏しない。|日本人(P)ならば、降伏(Q)しない。|P→¬Q| |平家に非ずんば人に非ず。|平家(P)でないのならば、人(Q)ではない。|¬P→¬Q| |成人した男性|成人(P)で且つ男性(Q)|P∩Q| |エビやカニは美味い。|エビ(P)又はカニ(Q)ならば、美味い(R)。|P∪Q→R| |全ての命|全て(∀)の命(P)|∀P| |彼女がいる。|彼女(P)がいる(∃)。|∃P| -議論領域 「全て」や「ある」といった言葉が使われる時に、そこで話題になっているものの範囲 例：ある会議全体，ある学級の人数
''■[[論理学]]'' //#include( ,notitle) #contents |BGCOLOR(#555):COLOR(White):200|520|c |BGCOLOR(#fc2):COLOR(Black):''分類''|''選択''| |区分|総合教育科目| |履修形態|完全抽選| |履修条件|抽選に当たる。| |単位数|2| |講師|[[津留竜馬]]| |学位等|学士| *概要 [#Gaiyou] 論理式について学ぶ科目。理系と文系が合体したような内容。 CHIPSによる抽選を行う。 #br 決まりに従って文章を論理式に変換する遊びだと思って受講すると楽。 「これに何の意味があるのか」などと考えると、途端に苦しくなる。 ノート必須。 欠席し過ぎると授業に付いていけなくなる。 #br 教科書・プリントはなし。教員が板書するのをノートに書き写す。 評価は試験で行う。 *講師の印象 [#Inshou] *令和七年度(2025年度) [#h81d5434] #style(class=submenuheader){{ **前期 }} #style(class=submenu){{ |BGCOLOR(#555):COLOR(White):200|520|c |BGCOLOR(#fc2):COLOR(Black):授業形態|対面授業| |日程/教室|水曜日 ３限目/3307教室(３号館３階７番教室)| ***論理式 [#h81d5499] 述語論理で使う記号はこれだけ覚えれば大丈夫。 |記号|説明|h |→|ならば| |¬|否定| |∩|且つ(積集合)：任意の集合と集合の共通部分| |∪|又は(和集合)：任意の集合と集合のどちらか一方、または両方に属する要素を全て集めた集合| |∀|全称量化子：全て。AllのAを逆さにした記号| |∃|存在量化子：ある。Exist(存在)のEを逆さにした記号| |⇔|同値。↔ではない。| 論理式のうち、∀か∃が含まれるものを量化式と言う。 ***文章の論理式化 [#h81d5555] |例文|考え方|論理式|h |日本人は和を重んじる。|日本人(P)ならば、和を重んじる(Q)。|P→Q| |日本人は降伏しない。|日本人(P)ならば、降伏(Q)しない。|P→¬Q| |平家に非ずんば人に非ず。|平家(P)でないのならば、人(Q)ではない。|¬P→¬Q| |成人した男性|成人(P)で且つ男性(Q)|P∩Q| |エビやカニは美味い。|エビ(P)又はカニ(Q)ならば、美味い(R)。|P∪Q→R| |全ての命|全て(∀)の命(P)|∀P| |彼女がいる。|彼女(P)がいる(∃)。|∃P| -議論領域 「全て」や「ある」といった言葉が使われる時に、そこで話題になっているものの範囲 例：ある会議全体，ある学級の人数 ***法則 [#h81d6665] |~A→A|同一律| |~A∪¬A|排中律| |~((A→B)→A)|パースの法則| |>|CENTER:代表的論理法則|h |¬¬A⇔A|二重否定除去則| |A∩B⇔B∩A|交換則| |A∪B⇔B∪A|~| |A→B⇔¬A∪B|| |A→B⇔¬B→¬A|対偶の法則| |¬(A∩B)⇔¬A∪¬B|ド・モルガンの法則| |¬(A∪B)⇔¬A∩¬B|~| |(A∩B)∩C⇔A∩(B∩C)|結合則| |(A∪B)∪C⇔A∪(B∪C)|~| |A∩(B∪C)⇔(A∩B)∪(A∩C)|分配の法則| |A∪(B∩C)⇔(A∪B)∩(A∪C)|~| これらの法則を用いて論理式を変形することで、ある論理式同士が同値であることを示せる。（同値変形） //>''例題と解答'' //¬(R∩P)∪Qと¬R∪(P→Q)が同値であることを同値変形で示せ。 //（上に示した法則を使う。） //#br //¬(R∩P)⇔¬R∪¬P （ド・モルガンの法則） ***真偽 [#h81d6666] 変数が含まれる論理式を真(Ｔ)と偽(Ｆ)に場合分けする。 |>|基本|h |P→Q|「Pが真でQが偽」の時のみ偽(Ｆ)となり、それ以外は全て真(Ｔ)になる。| |P∩Q|P∩Qが共にＴの場合のみＴとなり、それ以外はＦ| |P∪Q|少なくとも一方がＴであればＴとなる。両方ともＦの場合のみＦ| |¬|結果を反転(ＴはＦに、ＦはＴにする。)| #br 論理式の真偽を決めるには真理表を用いる。 -P→Qの場合 |P|Q|P→Q|h |Ｔ|Ｔ|Ｔ| |Ｔ|Ｆ|Ｆ| |Ｆ|Ｔ|Ｔ| |Ｆ|Ｆ|Ｔ| -¬P→¬Qの場合 |P|Q|¬P|¬Q|¬P→¬Q|h |Ｔ|Ｔ|Ｆ|Ｆ|Ｔ| |Ｔ|Ｆ|Ｆ|Ｔ|Ｔ| |Ｆ|Ｔ|Ｔ|Ｆ|Ｆ| |Ｆ|Ｆ|Ｔ|Ｔ|Ｔ| -P∩Qの場合 |P|Q|P∩Q|h |Ｔ|Ｔ|Ｔ| |Ｔ|Ｆ|Ｆ| |Ｆ|Ｔ|Ｆ| |Ｆ|Ｆ|Ｆ| -P∪Qの場合 |P|Q|P∪Q|h |Ｔ|Ｔ|Ｔ| |Ｔ|Ｆ|Ｔ| |Ｆ|Ｔ|Ｔ| |Ｆ|Ｆ|Ｆ| #br |~真理表で全て真になる行|妥当式| |~真理表で全て偽になる行|矛盾式| |~それ以外|事実式| 基本的に全て事実式 妥当式はP→(Q→P)ぐらいしかない。矛盾式に至っては出てこない。 ***述語論理 [#h81d7777] 一項述語はF,G,H、二項述語はR、名詞はa,b,c |例文|記号の割り当て|論理式|h |太郎は学生である。|太郎＝a&br;xは学生である＝Fx|Fa| |太郎は花子を愛する。|太郎＝a&br;花子＝b&br;xはyを愛する＝Rxy|Rab| |太郎と次郎のどちらかが不合格だったら、花子は喜ばない。|太郎＝a&br;花子＝b&br;次郎＝c&br;xは合格する＝Fx&br;xは喜ぶ＝Hx|(¬Fa∩¬Fc)→¬Hb| |学生が合格する。|学生＝a&br;xは合格する＝Fx&br;全てのx＝∀x&br;xが存在する＝∃x|Fa| |全ての学生が合格する。|~|∀aFa| |全ての学生が合格することはない。|~|¬∀aFa| |全ての学生が合格しない。|~|∀a¬Fa| |合格した学生はいない。|~|¬∃aFa| |不合格の学生もいる。|~|∃a¬Fa| 「∀¬と¬∃」,「¬∀と∃¬」はそれぞれ同じ意味。[[日本語]]に近い方を選ぶ。 #br 述語論理式の真偽は「議論領域」「a,b,c等の解釈」「F,G,H,R等の解釈」で決まる。 この三つを決めるものをモデルと言う。 ***数 [#h81d8888] Uはモデル a∈bは「aはbに含まれる」 ∅（空集合）が出てくることも >''例'' U={1,2,3,4,5} I(a)=4、I(b)=1、I(c)=3 I(F)={1,4}、I(G)={2,3,5}、I(R)={(3,1),(1,5),(3,4),(5,2)} #br -Fb I(b)∈I(F) 1∈{1,4} ⇨真 -Ga I(G)に4は含まれない。 ⇨偽 -Rca (I(c),I(a)) (3,4)∈I(R) ⇨真 -∀xGx 全てのxについて調べる。 全て含まれていないなら偽 ⇨偽 -∃xGx 一つでも含まれていれば真 ⇨真 ある論理式が真の時のaの値を求められることがある。 }} *コメント [#comment] #pcomment(,reply,20,)
